Question

已知A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…，A_n（x_n，y_n）是直线l：y=kx+b上的n个不同的点（n∈N^*，k、b均为非零常数），其中数列{x_n}为等差数列．
（1）求证：数列{y_n}是等差数列；
（2）若点P是直线l上一点，且，求证：a₁+a₂=1；
（3）设a₁+a₂+…+a_n=1，且当i+j=n+1时，恒有a_i=a_j（i和j都是不大于n的正整数，且i≠j）．试探索：在直线l上是否存在这样的点P，使得成立？请说明你的理由．

Answer

（1）将yn+1和yn分别代入y=kx+b，令两者相减得定值，便可证明数列{yn}为等差数列；
（2）由题中条件可知PA1A2共线，令，即可证明a1+a2=1；
（3）先写出满足条件的x的函数，再根据a1+a2+…+an=1和ai=aj及数列{xn}为等差数列等条件逐步化简，便可求出满足条件的P店坐标．
【解析】
（1）证：设等差数列{xn}的公差为d，
∵yn+1-yn=（kxn+1+b）-（kxn+b）=k（xn+1-xn）=kd，
∴yn+1-yn为定值，即数列{yn}是等差数列；
（2）证：因为P、A1和A2都是直线l上一点，故有（λ≠-1），
于是，===+λ（），
∴（1+λ）=+λ
∴=+，
令a1=，a2=，则有a1+a2=1；
（3）假设存在点P（x，y），满足要求，
则有x=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn，
又当i+j=n+1时，恒有ai=aj，
则又有x=anx1+an-1x2+…+a2xn-1+a1xn，
∴2x=a1（x1+xn）+a2（x2+xn-1）+a3（x3+xn-2）+…+an（xn+x1），
又∵数列{xn}为等差数列；
于是x1+xn=x2+xn-1=x3+xn-2=…=xn+x1
∴2x=（a1+a2+a3+…+an）（x1+xn）=x1+xn
故x=，同理y=，
且点P（，）在直线上（是A1、An的中点），
即存在点P（，）满足要求．