Question

已知数列{a_n}中，在直线y=x上，其中n=1，2，3…．
（Ⅰ）令b_n=a_n-1-a_n-3，求证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅲ）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，试求出λ．若不存在，则说明理由．

Answer

（I）把点（n、2an+1-an）代入直线方程可得2an+1=an+n代入bn和bn+1中两式相除结果为常数，故可判定{bn}为等比数列．
（II）由（I）可求得数列{bn}的通项公式，进而可求得数列的前n项和，进而可得{an}的通项公式．
（III）把数列an}、{bn}通项公式代入an+2bn，进而得到Sn+2T的表达式代入Tn，进而推断当且仅当λ=2时，数列是等差数列．
【解析】
（I）由已知得，
∵，
又bn=an+1-an-1，bn+1=an+2-an+1-1，
∴
∴{bn}是以为首项，以为公比的等比数列．
（II）由（I）知，，
∴，
∴，，
…
∴，
将以上各式相加得：
∴，
∴
∴
（III）存在λ=2，使数列是等差数列．
由（I）、（II）知，an+2bn=n-2
∴=
又
∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．