Question

一个多面体的直观图和三视图（主视图、左视图、俯视图）如图所示，M、N分别为A₁B、B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面A₁BC．

Answer

（Ⅰ）先根据题中的三视图得到AC⊥BC，AC=BC=CC1，然后连接AC1和AB1，再由直三棱柱的性质得到四边形ABB1A1为矩形，再由中位线定理可得到MN∥AC1，最后根据线面平行的判定定理可证明MN∥平面ACC1A1．
（Ⅱ）先根据线面垂直的性质定理可得到BC⊥AC1，再根据A1CA⊥AC1，根据线面垂直的判定定理得到AC1⊥平面A1BC，最后根据MN∥AC1，得MN⊥平面A1BC，从而得证．
【解析】
由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC1
（Ⅰ）连接AC1，AB1．
由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥A1B1，
则四边形ABB1A1为矩形．
由矩形性质得AB1过A1B的中点M
在△AB1C1中，由中位线性质得MN∥AC1，
又AC1⊂平面ACC1A1，MN⊄平面ACC1A1，
所以MN∥平面ACC1A1
（Ⅱ）因为BC⊥平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1，
所以BC⊥AC1
在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1
又因为BC∩A1C=C，所以AC1⊥平面A1BC
由MN∥AC1，得MN⊥平面A1BC