Question

已知点P是圆x²+y²=1上的动点，点P在y轴上的射影为Q，设满足条件的点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设过点N（1，0）且斜率为k₁（k₁≠0）的直线l被曲线C所截得的弦的中点为A，O为坐标原点，直线OA的斜率为k₂，求k₁²+k₂²的最小值．

Answer

（1）设点P的坐标为（x，y），点M的坐标为（x，y），由，得x=2x，y=y，把点P坐标（x，y）代入圆x2+y2=1 消去x，y 可得M的轨迹C的方程．
（2）设出直线l的方程为y=k1（x-1），代入椭圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数，得到，代入要求的式子利用基本不等式求得最小值．
【解析】
（1）设点P的坐标为（x，y），点M的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（0，y）．
由，得x=2x，y=y，即．
因为点P在圆x2+y2=1上，把点P代入圆x2+y2=1 可得  ，故点M的轨迹C的方程为．
（2）由题设知，直线l的方程为y=k1（x-1），由，
得，其中，△=64k14-4（4k12+1）（4k12-4）=16（3k12+1）＞0．
设直线l与曲线C的两交点坐标为（x1，y1），（x2，y2），则，所以，．
所以，，当且仅当时取等号，故 的最小值是．