Question

已知数列{a_n}的前n项和为S，且对于任意的n∈N^*，恒有S_n=2a_n-n，设b_n=log₂（a_n+1）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（2）若，证明：c₁+c₂+…+c_n＜．

Answer

（1）由Sn=2an-n，得a1=1，Sn-1=2an-1-（n-1），所以an=2an-2an-1-1，∴an=2an-1+1，由此能求出数列{an}的通项公式an．由an+1=2•2n-1=2n，知bn=log2（an+1）=log22n=n，n∈N+．
（3），，由{an}为正项数列，所以{Cn}也为正项数列，从而，所以数列{cn}递减，由此能够证明c1+c2+…+cn＜．
【解析】
（1）当n=l时，S1=2a1-1，得a1=1，∵Sn=2an-n，∴当n≥2时，Sn-1=2an-1-（n-1），
两式相减得：an=2an-2an-1-1，∴an=2an-1+1，
∴an+1=2an-1+2=2（an-1+1），
∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．
an+1=2•2n-1=2n，∴an=2n-1，n∈N+，∴bn=log2（an+1）=log22n=n，n∈N+．
（2），，由{an}为正项数列，所以{Cn}也为正项数列，
从而，所以数列{cn}递减，
所以=．