Question

已知边长为6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F为AD、CD上靠近D的三等分点，H为BB₁上靠近B的三等分点，G是EF的中点．
（1）求A₁H与平面EFH所成角的余弦值；
（2）设点P在线段GH上，且，试确定λ的值，使得C₁P的长度最短．

Answer

（1）由题意建立坐标系，求出平面EFH的法向量，利用对应向量的数量积求出线面角的余弦值，再求其正弦值；
（2）由题意先求出P点的坐标，再求向量的长度的平方，转化为关于λ的一个一元二次函数，当取在对称轴出有最小值．
【解析】
由题意，以D1为坐标原点，A1D1，D1C1，DD1为x，y，z轴建立直角坐标系
，
可得E（2，0，6），F（0，2，6），H（6，6，4），A1（6，0，0）．
（1）设平面EFH的法向量=（1，x，y），∵=（-2，2，0），=（4，6，-2）
∴，求得=（1，1，5）；
∵=（0，6，4），∴cos＜，＞===；
设A1H 与平面EF所成角θ，则cosθ==．（5分）
（2）由题意知，G（1，1，6），C1（0，6，0），=（5，5，-2），
∵，∴设=λ=（5λ，5λ，-2λ），解得P（5λ+1，5λ+1，-2λ+6），
∴=（5λ+1，5λ-5，-2λ+6），
∴=（5λ+1）2+（5λ-5）2+（2λ-6）2=54λ2-64λ+58，
当λ=时，C1P的长度取得最小值．（10分）