Question

如图，已知过T（3，-2）的动直线l与抛物线C：y²=4x交于P，Q两点，点A（1，2）．
（I）证明：直线AP与直线AQ的斜率乘积恒为定值-2；
（II）以PQ为底边的等腰三角形APQ有几个？请说明理由．

Answer

（I）设直线l的方程为x=m（y+2）+3，联立直线方程与抛物线方程求出P，Q两点的坐标，代入直线AP与直线AQ的斜率进而求出直线AP与直线AQ的斜率乘积恒为定值-2；
（II）先求出PQ的中点坐标，再结合三角形APQ为等腰三角形求出关于m的等式，借助于函数的单调行求出m的取值个数即可得到结论．
【解析】
（I）设直线l的方程为x=m（y+2）+3
由得y2-4my-8m-12=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
则y1+y2=4m，y1•y2=-8m-12
∴kAP•kAQ====-2．
（II）PQ的中点坐标为（，），即（，），
==4m2+4m+6，
所以PQ的中点坐标为（2m2+2m+3，2m），
由已知得=-m，
即m3+m2+2m-1=0．
设f（m）=m3+m2+2m-1，则f′（m）=3m2+2m+2＞0，
f（m）在R上是增函数，又f（0）=-1，f（1）=3，故f（m）在（0，1）内有一个零点，
函数f（m）有且只有一个零点，即方程m3+m2+2m-1=0有唯一实根．
所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．