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如图,已知过T(3,-2)的动直线l与抛物线C:y2=4x交于P,Q两点,点A(...

如图,已知过T(3,-2)的动直线l与抛物线C:y2=4x交于P,Q两点,点A(1,2).
(I)证明:直线AP与直线AQ的斜率乘积恒为定值-2;
(II)以PQ为底边的等腰三角形APQ有几个?请说明理由.

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(I)设直线l的方程为x=m(y+2)+3,联立直线方程与抛物线方程求出P,Q两点的坐标,代入直线AP与直线AQ的斜率进而求出直线AP与直线AQ的斜率乘积恒为定值-2; (II)先求出PQ的中点坐标,再结合三角形APQ为等腰三角形求出关于m的等式,借助于函数的单调行求出m的取值个数即可得到结论. 【解析】 (I)设直线l的方程为x=m(y+2)+3 由得y2-4my-8m-12=0 设P(x1,y1),Q(x2,y2) 则y1+y2=4m,y1•y2=-8m-12 ∴kAP•kAQ====-2. (II)PQ的中点坐标为(,),即(,), ==4m2+4m+6, 所以PQ的中点坐标为(2m2+2m+3,2m), 由已知得=-m, 即m3+m2+2m-1=0. 设f(m)=m3+m2+2m-1,则f′(m)=3m2+2m+2>0, f(m)在R上是增函数,又f(0)=-1,f(1)=3,故f(m)在(0,1)内有一个零点, 函数f(m)有且只有一个零点,即方程m3+m2+2m-1=0有唯一实根. 所以满足条件的等腰三角形有且只有一个.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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