Question

如图，四棱锥E-ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，
且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求三棱锥D-AEC的体积；
（3）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer

（1）由已知中ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，根据面面垂直的性质可得BC⊥平面EAB，进而根据线面垂直的性质得到BC⊥EA，同理BF⊥EA，由线面垂直判定定理可得EA⊥平面EBC，再由线面垂直的性质即可得到AE⊥BE；
（2）设O为AB的中点，连接EO，可证得EO为三棱锥E-ADC的高，求出三棱锥的底面面积和高的长度，代入棱锥体积公式，即可求出答案．
（3）以O为原点，分别以OE、OB所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ACD和平面ECD的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A-CD-E的余弦值．
证明：（1）∵ABCD是矩形，
∴BC⊥AB，
∵平面EAB⊥平面ABCD，
平面EAB∩平面ABCD=AB，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥平面EAB，
∵EA⊂平面EAB，
∴BC⊥EA，
∵BF⊥平面ACE，EA⊂平面ACE，
∴BF⊥EA，
∵BC∩BF=B，BC⊂平面EBC，BF⊂平面EBC，
∴EA⊥平面EBC，
∵BE⊂平面EBC，
∴EA⊥BE．
【解析】
（2）∵EA⊥BE，
∴AB==2
S△ADC===2
设O为AB的中点，连接EO，
∵AE=EB=2，
∴EO⊥AB，
∵平面EAB⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，即EO为三棱锥E-ADC的高，且EO=AB=，
∴VD-ABC=VE-ADC=•S△ADC×EO=．
（3）以O为原点，分别以OE、OB所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，则E（，0，0），C（0，，2），A（0，-，0），D（0，-，2），
∴=（，0，0），=（0，-2，0），=（，，-2），
由（2）知=（，0，0）是平面ACD的一个法向量，设平面ECD的法向量为=（x，y，z），
则，即，令x=，则y=0，z=1，
所以=（，0，1），设二面角A-CD-E的平面角的大小为θ，由图得0＜θ＜，
cosθ=cos＜，＞=
所以二面角A-CD-E的余弦值为．