Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若关于x的方程在区间（0，2）有两个不等实根，求实数b的取值范围．

Answer

（1）由函数f（x在x=0处取得极值，则有f'（x）=0，从而求解；
（2）由由f'（x）＞0得增区间；由f'（x）＜0得减区间；
（3）将方程转化为，利用根的分布求解．
【解析】
（1）由已知得=，
∵f'（x）=0∴，
（2）由（1）得=
由f'（x）＞0得-1＜x＜0，由f'（x）＜0得x＞0，
∴f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）；
（3）令=
则=，
令g'（x）=0得x=1或x=-（舍），
当0＜x＜1时g'（x）＞0，
当1＜x＜2时g'（x）＜0即g（x）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减，
方程在区间（0，2）上有两个不等实根等价于函数g（x）在（0，2）上有两个不同的零点．
∴
∴（13分）
即实数b的取值范围为（14分）