Question

已知四棱锥P-ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，
∠CDA=∠BAD=90°，，M，N分别是PD，PB的中点．
（1）求证：MQ∥平面PCB；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；
（3）求点A到平面MCN的距离．

Answer

此类题一般有两种解法，一种是利用空间向量方法来证明，一种是用立体几何中线面位置关系进行证明，本题提供两种解法
向量法：对于（1）求证：MQ∥平面PCB，可求出线的方向向量与面的法向量，如果两者的内积为0则说明线面平行
对于（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小，求出两个平面的法向量，然后根据根据二面角的正弦与法向量的数量积的关系，求解；
对于（3）求点A到平面MCN的距离，求出平面上任一点与A连线所对应的向量，求这个向量在该平面的法向量上的投影即可，此法求点到面的距离甚为巧妙．
几何法：（1）求证MQ∥平面PCB，用线面平行的判定定理证明即可；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小，先在图形中作出二面角的平面角，再证明其是二面角的平面角，然后根据题设中的条件求出平面角的三角函数值，一般要在一个三角形中求解函数值．
（3）求点A到平面MCN的距离，须先作出点A在面上的垂线段，然后在三角形中求出此线段的长度即可．
【解析】
法一向量法：
以A为原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z建立空间直角坐标系O-xyz，
由，PA=4PQ=4，M，N分别是PD，PB的中点，
可得：，
∴，
设平面的PBC的法向量为，
则有：
令z=1，则，（3分）
∴，
又MQ⊄平面PCB，∴MQ∥平面PCB；
（2）设平面的MCN的法向量为，又
则有：
令z=1，则，
又为平面ABCD的法向量，
∴，又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角，
∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为，
（3）∵，∴所求的距离；
法二，几何法：
（1）取AP的中点E，连接ED，则ED∥CN，依题有Q为EP的中点，所以MQ∥ED，所以MQ∥CN，
又MQ⊄平面PCB，CN⊊平面PCB，∴MQ∥平面PCB
（2）易证：平面MEN∥底面ABCD，所以截面MCN与平面MEN所成的二面角即为平面MCN与底面ABCD所成的二面角，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥平面MEN，过E做EF⊥MN，垂足为F，连接QF，
则由三垂线定理可知QF⊥MN，
由（1）可知M，C，N，Q四点共面所以∠QFE为截面MCN与平面MEN所成的二面角的平面角，，
所以：，
所以：；
（3）因为EP的中点为Q，且平面MCN与PA交于点Q，所以点A到平面MCN的距离是点E到平面MCN的距离的3倍，
由（2）知：MN⊥平面QEF，则平面MCNQ⊥平面QEF且交线为QF，作EH⊥QF，垂足为H，则EH⊥平面MCNQ，故EH即为点E到平面MCN的距离．
．