Question

已知椭圆C：，F₁，F₂为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F₁PF₂的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数）
（1）求椭圆C的离心率e；
（2）过焦点F₂的直线l与椭圆C相交于点M、N，若△F₁MN面积的最大值为3，求椭圆C的方程．

Answer

（1）根据题意设出重心G的坐标，由向量关系求出点I的坐标，由面积的两种表示求出a与c的关系式，进而得到椭圆的斜率．
（2）设出椭圆与直线的方程并且联立方程得到关于y的一元二次方程，以F1F2为底边写出三角形的面积表达式，利用函数求最值的方法求出面积的最大值，并且求出此时m的数值，即得到椭圆的方程．
【解析】
（1）设P（x，y），，则有：，I的纵坐标为，|F1F2|=2c
∴

（2）由（1）可设椭圆C的方程为：，M（x1，y1），N（x2，y2）
直线MN的方程为：
可得：3（my+c）2+4y2=12c2⇒（4+3m2）y2+6mcy-9c2=0
∴
∴
令m2+1=t，则有t≥1且m2=t-1，
∴，
易证g（t）在[1，+∞）单调递减，
∴g（t）max=g（1）=，
∴的最大值为．
故椭圆C的方程为．