Question

已知函数f（x）满足2f（x+2）=f（x），当，当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4．
（1）求x∈（0，2）时函数f（x）的解析式；
（2）是否存在实数b使得不等式对于x∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，若存在，求出实数 b的取值集合，若不存在，说明理由．

Answer

（1）由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），设x∈（-4，-2）时，则x+4∈（0，2），代入，求出f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），再根据当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4，利用导数求得它的最大值，解方程即可求得a的值，进而求得结论；
（2）假设存在实数b使得不等式对于x∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）时，不等式恒成立，利用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，即可求得b的值．
【解析】
（1）由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），
，设x∈（-4，-2）时，则x+4∈（0，2），
所以f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4）
∴x∈（-4，-2）时，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4）
∴，∵，∴，
∴当，
当，
∴，∴a=-1
∴当x∈（0，2）时，f（x）=lnx-x
（2）由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）时，不等式恒成立，
即为恒成立，
①当x∈（0，1）时，，令
则
令，则当x∈（0，1）时，
∴h（x）＞h（1）=0，∴，
∴g（x）＜g（1）=1，故此时只需b≥1即可；
②当x∈（1，2）时，，令
则
令，则当x∈（1，2）时，
∴h（x）＞h（1）=0，∴，
∴φ（x）＜φ（1）=1，故此时只需b≤1即可，
综上所述：b=1，因此满足题中b的取值集合为：{1}