Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（λ+1）-λa_n，其中λ是不等于-1和0的常数．
（Ⅰ）证明a_n是等比数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的公比q=f（λ），数列{b_n}满足，b_n=f（b_n-1）（n∈N，n≥2），求数列的前n项和为T_n．

Answer

（Ⅰ）由an=Sn-Sn-1=（λ+1）-λan -[（λ+1）-λan-1 ]，得到an和an-1的关系式．再由等比数列的定义为常数得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn和bn-1之间的关系．即，两边取倒数，构造了这个等差数列．再根据公式求和．
【解析】
（Ⅰ）∵Sn=（λ+1）-λan∴Sn-1=（λ+1）-λan-1（n≥2）
∴an=-λan+λan-1即（1+λ）an=λan-1又λ≠-1且λ≠0
∴又a1=1
∴an是以1为首项，为公比的等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：q=f（λ）=
∴故有∴
∴是以3为首项，1为公差的等差数列
∴
∴