已知椭圆的离心率，短轴长为2．设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）...

已知椭圆

的离心率

，短轴长为2．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），是椭圆上的两点，向量 manfen5.com 满分网

，

，且

，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

（Ⅰ）直接利用离心率，短轴长为2求出a，b，c即可求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+b，联立直线方程和椭圆的方程整理后求出A，B的坐标与k，b的关系；再结合求出对应结论，代入△AOB的面积计算公式，整理后即可得出结论．【解析】（Ⅰ）由题意知：2b=2，b=1，则a=2，所以椭圆的方程为（Ⅱ）因为x1≠x2，设直线AB的方程为y=kx+b ，则△=4k2b2-4（k2+4）（b2-4）＞0且， ∵ ∴4x1x2+y1y2=0即4x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0 代入整理得：2b2-k2=4 ∴= ∴△AOB的面积为定值1

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考点分析：

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某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：

学历	35岁以下	35～50岁	50岁以上
本科	80	30	20
研究生	x	20	y

（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为 manfen5.com 满分网