Question

已知函数的极小值大于零，其中x∈R，θ∈[0，π]．
（I）求θ的取值范围；
（II）若在θ的取值范围内的任意θ，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围；
（III）设，，若f[f（x）]=x，求证：f（x）=x．

Answer

（I）对函数求导得，f′（x）=12x2-6xsinθ，令，且由题意可知x1≠x2，依据题中的条件找出函数的极小值点为，函数的极小值大于零⇔
（II）由（I）知，函数f（x）增区间（-∞，0）与，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数⇒区间
（2a-1，a）⊆（-∞，0）或（2a-1，a）⊆（，+∞），从而求a的取值范围
（III）假设f（x）≠x则f（x）＜x或f（x）＞x，结合（II）函数在的单调性进行推理，得出矛盾
【解析】
（I）f'（x）=12x2-6xsinθ令f'（x）=0得
函数f（x）存在极值，sinθ≠0，（1分）
由θ∈[0，π]及（I），只需考虑sinθ＞0的情况．
当x变化时，f'（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：
因此，函数f（x）在处取得极小值，且=（3分）
要使＞0，必有可得
所以θ的取值范围是（5分）
（II）由（I）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与内都是增函数．
由题设，函数f（x）在（2a-1，a）内是增函数，则a须满足不等式组
，或，
∵
∴要使不等式关于参数θ恒成立，必有．
解得a≤0或，所以a的取值范围是．（8分）
（III）用反证法证明：
假设f（x）≠x，则f（x）＜x，或f（x）＞x，
∵，，
∴，或
当时，
∵函数f（x）在区间内是增函数，
∴f[f（x）]＜f（x），即x＜f（x）矛盾；
当时，
∵函数f（x）在区间内是增函数，
∴f[f（x）]＞f（x），即x＞f（x）也矛盾；
故假设不成立，即f（x）=x成立．（12分）