Question

椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，求m的取值范围．

Answer

（1）设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），由c＞0，c2=a2-b2，且a-c=1-，e==，可得a=1，b=c=；则椭圆C的方程可求．
（2）由=λ，得-=λ（-），即（1+λ）=+λ，∴1+λ=4，得λ的值；设l与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），由，得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0，∴△＞0，且x1+x2=，x1x2=；由=3，得-x1=3x2，∴，即3（x1+x2）2+4x1x2=0，
∴3+4=0，即4k2m2+2m2-k2-2=0，所以m2=时，上式不成立；m2≠时，k2=，由λ的值，知斜率k≠0，得k2＞0，从而得m的取值范围．
【解析】
如图所示，
（1）设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），且c＞0，c2=a2-b2；
由题意a-c=1-，=，∴a=1，b=c=；∴C的方程为y2+2x2=1；
（2）由=λ，得-=λ（-），∴（1+λ）=+λ，∴1+λ=4，即λ=3；
设l与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），由，得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0，
∴△=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）＞0，∴x1+x2=，x1x2=；
由=3，得-x1=3x2，∴，整理得3（x1+x2）2+4x1x2=0，
即3+4=0，整理得4k2m2+2m2-k2-2=0①，
当m2=时，①式不成立；m2≠时，有k2=，由λ=3，知k≠0，
∴k2=＞0，∴-1＜m＜-或＜m＜1，符合△＞0，
∴m∈（-1，-）∪（，1）．