Question

已知函数f（x）=ln（x+1），x∈（0，+∞），下列结论错误的是（ ）
A．∀x₁，x₂∈（0，+∞），（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]≥0
B．∀x₁∈（0，+∞），∃x₂∈（0，+∞），x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）
C．∀x₁∈（0，+∞），∃x₂∈（0，+∞），f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁
D．∃x₁，x₂∈（0，+∞），

Answer

利用函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，且增长越来越缓慢，横坐标越大的点与原点连线的斜率越小，
ln（x+1）-x为减函数，曲线y=f（x）图象上连接任意两点线段中点在曲线下方，可得：A、B、C正确，
D不正确．
【解析】
因为函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，所以（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]≥0，故A正确．
由于，将视为曲线y=f（x）上的点与原点连线斜率，
结合函数图象特征可知横坐标越大，斜率越小，∀x1∈（0，+∞），∃x2＞x1满足条件，故B正确．
当x∈（0，+∞）时，y=f（x）-x=ln（x+1）-x为减函数，∀x1∈（0，+∞），∃x2＞x1，
f（x2）-x2＜f（x1）-x1，故C正确．
由于曲线y=f（x）图象上连接任意两点线段中点在曲线下方，∀x1，x2∈（0，+∞），
≤，故D错误．
故选D．