Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，点E在AA₁上，点F在CC₁上，且AE=FC₁=1，
（1）求证：E、B、F、D₁四点共面；
（2）若点G在BC上，BG=，点M在BB₁上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC₁B₁．

Answer

（1）在DD1上取点N，使DN=1，连接EN，CN，易得四边形ADNE是平行四边形，以及四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，则FD1∥BE，得到E、B、F、D1四点共面；
（2）欲证EM⊥平面BCC1B1，而AB⊥平面BCC1B1，可先证AB∥EM，而易证ABME为平行四边形．
证明：（1）如图，在DD1上取点N，使DN=1，连接EN，CN，
则AE=DN=1，CF=ND1=2，
因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE是平行四边形，
从而ENAD，FD1∥CN，又因为ADBC，所以ENBC，
故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE，
所以E、B、F、D1四点共面；
（2）如图，GM⊥BF，又MB⊥BC，所以∠BGM=∠CFB，
BM=BG•tan∠BGM=BG•∠CFB=BG•=，
因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM，又AB⊥平面BCC1B1，
所以EM⊥平面BCC1B1．