Question

已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=1，得到三棱锥A-BCD，如图所示．
（I）若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD；
（II）求证：AO⊥平面BCD；
（III）求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer

（I）由已知中正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O，M为AB的中点，根据三角形中位线定理，可得OM∥AD，结合线面平行的判定定理，可得OM∥平面ACD；
（II）解△AOC，可得AO⊥CO，由正方形的性质可得AO⊥BD，根据线面垂直的判定定理，可得AO⊥平面BCD．
（III）由（II）知AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出平面ABC和平面BCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到
二面角A-BC-D的余弦值．
【解析】
（I）证明：∵在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，
∴O为BD的中点，
又M为AB的中点，
∴OM∥AD．
又AD⊂平面ACD，OM⊄平面ACD，
∴OM∥平面ACD．
证明：（II）在△AOC中，∵AC=1，，
∴AC2=AO2+CO2，∴AO⊥CO．
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴AO⊥BD，
又BD∩CO=O
∴AO⊥平面BCD．
（III）由（II）知AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．
则，
是平面BCD的一个法向量．
，，
设平面ABC的法向量，
则，．
即，
所以y=-x，且z=x，令x=1，则y=-1，z=1，
解得．

从而，
二面角A-BC-D的余弦值为．