Question

已知函数f（x）=mx³-x的图象上以（1，n）为切点的切线的倾斜角为．
（1）求m，n的值；并求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在最小整数k；使得不等式f（x）≤k-1995对于区间[-1，3]恒成立？若存在，请求出最小整数k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）函数f（x）=mx3-x的图象上以（1，n）为切点的切线的倾斜角为．由此条件建立两个方程求求m，n的值；
（2）是否存在最小整数k；使得不等式f（x）≤k-1995对于区间[-1，3]恒成立可以转化为求f（x）+1995在区间[-1，3]的最值问题．求出函数f（x）+1995在区间[-1，3]的最大值，再由此判断出参数k的最小值即可．
【解析】
由已知f′（x）=3mx2-1，则，得，
∴f′（x）=2x2-1．当f′（x）＞0，即2x2-1＞0，得当时，f（x）单调递增，故当时，f（x）单调递减．
∴函数f（x）的单调增区间是，减区间是
（2）设存在最小整数k，使得f（x）≤k-1995，在区间[-1，3]恒成立，则∀x∈[-1，.3]，有恒成立，
令，只须g（x）max≤k，
此时g′（x）=2x2-1，
由（1）知函数g（x）在区间单调递增，在单调递减．
∴当时，g（x）取得极大值；

∴函数在[-1，3]的最大值为g（3）=2010
∴使得不等式f（x）≤k-1995对于区间[-1，3]恒成立最小正整数k=2010