Question

已知双曲线 2x²-2y²=1的两个焦点为F₁，F₂，P为动点，若|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）求cos∠F₁PF₂的最小值；
（Ⅲ）设点M（-2，0），过点N（，0）作直线l交轨迹E于A、B两点，判断∠AMB的大小是否为定值？并证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）依题意双曲线方程可化为，|F1F2|=2，|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|=2，知点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，由2a=4，2c=2得a=2，c=1，知所求动点P的轨迹E的方程．
（Ⅱ）设|PF1|=m＞0，|PF2|=n＞0，∠F1PF2=θ，则由m+n=4，|F1F2|=2可知在△F1PF2中，，故mn≤4，由此知∠F1PF2的最小值为．
（Ⅲ）当l与x轴重合时，构不成角AMB，不合题意．当l⊥x轴时，直线l的方程为，代入解得A．B的坐标分别为，，而，故∠AMB=90°，猜测∠AMB=90°为定值，再由韦达定理进行证明．
【解析】
（Ⅰ）依题意双曲线方程可化为，则|F1F2|=2，∴|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|=2
可知点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其方程可设为
由2a=4，2c=2得a=2，c=1∴b2=4-1=3则所求椭圆方程为，
故动点P的轨迹E的方程为；（3分）
（Ⅱ）设|PF1|=m＞0，|PF2|=n＞0，∠F1PF2=θ，则由m+n=4，|F1F2|=2可知
在△F1PF2中
又∵∴mn≤4，即∴
当且仅当m=n=2时等号成立．故cos∠F1PF2的最小值为（6分）
（Ⅲ）当l与x轴重合时，构不成角AMB，不合题意．
当l⊥x轴时，直线l的方程为，代入解得A．B的坐标分别为，，而，∴∠AMB=90°，
猜测∠AMB=90°为定值．（8分）
证明：设直线l的方程为，由，
得
∴，（10分）
∴=====0
∴∠AMB=90°为定值．（AB与点M不重合）（14分）