Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是矩形，D₁C⊥平面ABCD，AB=1，BC=D₁C=2，E为A₁C的中点．
（1）求证：直线C₁C∥平面BDE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

Answer

（1）先根据题意结合题中条件找出已知直线的中位线即证明线线平行，再说明其中一条直线在平面内，则可证明线面平行．
（2）由其中一个平面内一点作另一个平面的垂线，再由垂足向交线作垂线，进而连线得到二面角的平面角，然后证明这个角就是二面角的平面角，最后利用解三角形的知识求出二面角即可．
【解析】
（1）连接AC，与BD交于点F，连接EF，
在矩形ABCD中，F为AC的中点，又E为A1C的中点，
∴A1A∥EF，
又在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，C1C∥A1A，
∴C1C∥EF，又EF⊂平面BDE，C1C⊄平面BDE，
∴直线C1C∥平面BDE．
（2）连接A1B，BD1，∵在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1与BC平行且相等，

∴四边形A1BCD1是平行四边形，则A1C与BD1互相平分，
∴A1C的中点E也是BD1的中点．取BC的中点F，连接EF，则EF∥D1C，且，
又D1C⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，过点F作FG垂直BD于点G，连接EG．
根据三垂线定理有EG⊥BD，故∠EGF是二面角E-BD-C的平面角
在Rt△BCD中，，
∴在Rt△FGB中，，
∴在Rt△EFG中，．