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(理)已知函数,实数a∈R且a≠0. (1)设mn>0,判断函数f(x)在[m,...

(理)已知函数manfen5.com 满分网,实数a∈R且a≠0.
(1)设mn>0,判断函数f(x)在[m,n]上的单调性,并说明理由;
(2)设0<m<n且a>0时,f(x)的定义域和值域都是[m,n],求n-m的最大值;
(3)若不等式|a2f(x)|≤2x对x≥1恒成立,求a的范围.
(1)根据函数单调性的定义先设m≤x1<x2≤n,然后判定f(x1)-f(x2)的正负,从而确定函数f(x)在[m,n]上的单调性; (2)由(1)及f(x)的定义域和值域都是[m,n],则m,n是方程的两个不相等的正数根,等价于方程a2x2-(2a2+a)x+1=0有两个不等的正数根,利用根与系数的关系即可求出n-m的最大值; (3),则不等式|a2f(x)|≤2x对x≥1恒成立,令h(x)=,易证h(x)在[1,+∞)递增,同理[1,+∞)递减,求出函数h(x)min,与函数g(x)max,建立不等关系,解之即可求出a的范围. 【解析】 (1)设m≤x1<x2≤n,则, ∵mn>0,m≤x1<x2≤n,∴x1x2>0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),因此函数f(x)在[m,n]上的单调递增. (2)由(1)及f(x)的定义域和值域都是[m,n]得f(m)=m,f(n)=n, 因此m,n是方程的两个不相等的正数根, 等价于方程a2x2-(2a2+a)x+1=0有两个不等的正数根, 即, 解得,∴, ∵,∴时,n-m最大值为. (3),则不等式|a2f(x)|≤2x对x≥1恒成立, 即即不等式对x≥1恒成立, 令h(x)=,易证h(x)在[1,+∞)递增,同理[1,+∞)递减. ∴h(x)min=h(1)=3,g(x)max=g(1)=-1, ∴∴且a≠0
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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