Question

已知函数f（x）=e^2x-2tx，．
（1）求f（x）在区间[0，+∞）的最小值；
（2）求证：若t=1，则不等式g（x）≥对于任意的x∈[0，+∞）恒成立；
（3）求证：若t∈R，则不等式f（x）≥g（x）对于任意的x∈R恒成立．

Answer

（1）求出函数f（x）的导数，因为e=1，所以根据参数t是否大于1来讨论函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，从而得到函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值；
（2）求函数g（x）的导数g'（x），得出函数g'（x）在区间[0，+∞）上是增函数，从而g'（x）≥g'（0）=2＞0，根据g'（x）恒正得出函数g（x）在区间[0，+∞）上为增函数，从而g（x）≥g（0）=；
（3）构造函数h（x）=f（x）-g（x），再将所得函数h（x）进行配方，得到恒比h（x）小的一个函数，再通过讨论这个函数的最小值为非负，从而得出h（x）≥0，命题得理证．
【解析】
（1）f'（x）=2e2x-2t=2（e2x-t）
①若t≤1
∵x≥0，则e2x≥1，∴e2x-t≥0，即f'（x）≥0．
∴f（x）在区间[0，+∞）是增函数，故f（x）在区间[0，+∞）的最小值是f（0）=1
②若t＞1
令f'（x）=0，得．
又当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，
∴f（x）在区间[0，+∞）的最小值是
（2）证明：当t=1时，，则g'（x）=-2x+2ex=2（ex-x），
∴[g'（x）]'=2（ex-1），
当x∈[0，+∞）时，有[g'（x）]'≥0，∴g'（x）在[0，+∞）内是增函数，
∴g'（x）≥g'（0）=2＞0，
∴g（x）在[0，+∞）内是增函数，
∴对于任意的x∈[0，+∞），恒成立
（3）证明：=，
令
则当t∈R时，h（t）≥=，
令F（x）=ex-x，则F'（x）=ex-1，
当x=0时，F'（x）=0；当x＞0时，F'（x）＞0；当x＜0时，F'（x）＜0，
则F（x）=ex-x在（-∞，0]是减函数，在（0，+∞）是增函数，
∴F（x）=ex-x≥F（0）=1，
∴，
∴h（t）≥0，即不等式f（x）≥g（x）对于任意的x∈R恒成立