Question

某种项目的射击比赛，开始时选手在距离目标100m处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标150m处，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标200m处，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在100m处击中目标的概率为，且各次射击都相互独立．
（Ⅰ）求选手甲在三次射击中命中目标的概率；
（Ⅱ）设选手甲在比赛中的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer

（I）记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为事A、B、C，三次均未击中目标为事件D，设选手甲在x处击中目标的概率为P（x），则．当x=100时求出k的值，再有独立事件同时发生的概率公式即可求得；
（II）由于ξ表示选手甲在比赛中的得分，根据题意则ξ的可取值0，1，2，3，利用随机变量的定义求出每一个对应值下的事件的概率，并列出分布列，利用期望公式求期望．
【解析】
记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为事A、B、C，三次均未击中目标为事件D，
则．
设选手甲在x处击中目标的概率为P（x），则p（x）=．x=100时P（A）=，
得，∴k=5000，．
∴，，
（Ⅰ）由于各次射击都是相互独立的，所以选手甲在三次射击中击中目标的概率为，
（Ⅱ）由题设知，ξ的可取值0，1，2，3，
，，，．
∴ξ的分布列为

ξ 1 2 3
P

数学期望为Eξ=．