Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，AC⊥AB，AB=PA，点E是PD上的点，且（0＜λ≤1）．
（Ⅰ） 求证：PB⊥AC；
（Ⅱ） 求λ的值，使PB∥平面ACE；
（Ⅲ）当λ=1时，求二面角E-AC-B的大小．

Answer

（I）由题意由于PA⊥平面ABCD．利用线面垂直的定义可以得到PA⊥AC，又由于AC⊥AB，利用线面垂直的判定定理可以得到AC⊥平面PAB，进而利用线面垂直的定义即可得证；
（II）由题意连接BD交AC于O，连接OE，因为PB∥平面ACE，利用线面平行的性质定理可以得到PB∥OE，在由于O为BD的中点，所以可得E为PD的中点，进而求得λ=1；
（III）由题意取AD的中点F，连接EF，利用中位线性质可以得到EF∥PA，又由于PA⊥平面ABCD，利用两平行线一个与平面垂直则另一条也与该平面垂直可得到EF⊥平面ABCD．连接OF，则OF∥AB，利用三垂线定理即可得到∠EOF就是二面角E-AC-D的平面角，然后计算出即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：由于PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC∵AC⊥AB，∴AC⊥平面PAB，∴PB⊥AC，
（Ⅱ）连接BD交AC于O，连接OE，∵PB∥平面ACE，平面ACE∩平面PBD=OE∴PB∥OE，
又∵O为BD的中点∴E为PD的中点，
故λ=1．
（Ⅲ）取AD的中点F，连接EF，则EF∥PA，∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．连接OF，则OF∥AB∵BA⊥AC，
∴OF⊥AC，连接OE，则OE⊥AC，∴∠EOF就是二面角E-AC-D的平面角，
又∵，∴EF=OF，且EF⊥OF∴∠EOF=45°．
∴二面角E-AC-B大小为135°．