Question

已知函数f（x）=alnx，g（x）=x²，记F（x）=g（x）-f（x）
（Ⅰ）求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）当时，若x≥1，比较：g（x-1）与的大小；
（Ⅲ）若F（x）的极值为，问是否存在实数k，使方程有四个不同实数根？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）分别把f（x）和g（x）的解析式代入F（x）中，求出F′（x）=0时x的值为a及函数的定义域为x大于0，令导函数大于0解出x的范围即为函数的增区间，令导函数小于0求出x的值即为函数的间区间；
（Ⅱ）令，利用导数研究其单调性得出h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0即可证得结论；
（III）分别把 代入g（x），把1+x2代入到f（x）中，要使两个函数图象有四个不同的交点，即让y相等得到的方程m=ln（x2+1）-x2+有四个解，可设G（x）=ln（x2+1）-x2+，求出G′（x）=0时x的值，利用x的值分区间讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间，利用函数的增减性求出函数的最大值G（1）和最小值G（0），然后求出G（2）和G（-2）相等且都小于G（0），所以m属于（G（0），G（1））时方程恰有四个解，求出m的范围即可．
【解析】
（Ⅰ）F（x）的定义域为（0，+∞），又F（x）=g（x）-f（x）=x2-alnx
∴F′（x）=2x-=，当a≤0时，F′（x）＞0恒成立
∴F（x）在（0，+∞）上单调递增；令F'（x）=0得
当a＞0时，若0＜x＜，F'（x）＜0∴F（x）在（0，）上单调递减；
若x＞，F'（x）＞0，∴F（x）在（，+∞）上单调递增
故a≤0时，F（x）增区间为（0，+∞）；
a＞0时，F（x）增区间为，减区间为（0，）．（4分）
（Ⅱ）令，
h′（x）=2（x-1）+=，所以h（x）在[1，+∞）
上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0，∴g（x-1）≥f（） （8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知F（x）仅当a＞0时，在x=处取得极值
由F（）=可得a=2，方程为
k=①，令t=x2，得②
由方程①有四个不同的根，得方程②有两个不同的正根，
令y1=，y2=2ln（t+1）当直线y1与曲线y2相切时，，∴t=3，
得切点坐标（3，2ln4）∴切线方程为，其在y轴上截距为2ln4-；
当直线y1在y轴上截距-k∈（0，2ln4-）时，y1和y2在y轴右侧有两个不同交点，所以k的取值范围为（-2ln4，0）（14分）