Question

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率都是，每次遇到红灯时停留的时间都是1min．
（Ⅰ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2min的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间X的分布列及期望．

Answer

（I）根据已知中学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率都是，每次遇到红灯时停留的时间都是1min．若这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2min，共包括三种情况，一是没有遇到红灯，二是遇到一次，三是遇到二次，分别求出三种情况的概率，然后代入互斥事件概率加法公式即可得到答案．
（II）分别计算出X取值为0，1，2，3，4时的概率，即可得到随机变量X的分布列，代入数学期望公式，即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）设这名学生在上学路上因红灯停留的总时间至多是2min为事件B，这名学生上学路上因遇到红灯停留的总时间为X，则X～B（4，）．
则由题意，得P（X=0）=（）4=，（2分）
P（X=1）=C41（）3•（）1=，（4分）
P（X=2）=C42•（）2•（）2=．（6分）
∴事件B的概率为P（B）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=．（8分）
（Ⅱ）由题意，可得X可能取得的值为0，1，2，3，4（单位：min）．由题意X～B（4，）
∴P（X=k）=C4k•（）4-k•（）k（k=0，1，2，3，4）．
∴即X的分布列是

X 1 2 3 4
P

∴X的期望是E（X）=4×=．（12分）