Question

已知函数．
（Ⅰ）当a＜0时，若∃x＞0，使f（x）≤0成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-（a+1）x，a∈（1，e]，证明：对∀x₁，x₂∈[1，a]，恒有|g（x₁）-g（x₂）|＜1．

Answer

（I）求出函数f（x）的导函数，令导函数等于0求出根，列出x，f′（x），f（x）的情况变化表，通过表得到函数的最小值，令最小值小于等于0即可．
（II）求出g（x）的导函数，判断出导函数的符号，得到函数g（x）递减，求出g（x）的最大值及最小值，通过分析法只需证得最大值与最小值差的绝对值小于1即可，构造新函数h（x），h（x）的导函数，判断出其符号，进一步求出h（x）的最大值，得证．
【解析】
（I）当a＜0，由．
令f′（x）=0，
∴
列表：

x
f′（x） - +
f（x） 减函数 极小值 增函数

这是．
∵∃x＞0，使f（x）≤0成立，
∴，
∴a≤-e，
∴a范围为（-∞，-e]．
（Ⅱ）因为对对∀x∈[1，a]，，所以g（x）在[1，a]内单调递减．所以．
要证明|g（x1）-g（x2）|＜1，
只需证明＜1，
即证明＜0．
令，
＞0，
所以在a∈（1，e]是单调递增函数，
所以＜0，
故命题成立．