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已知f(x)是定义在[a,b]上的函数,其图象是一条连续的曲线,且满足下列条件:...

已知f(x)是定义在[a,b]上的函数,其图象是一条连续的曲线,且满足下列条件:
①f(x)的值域为G,且G⊆[a,b];
②对任意的x,y∈[a,b],都有|f(x)-f(y)|<|x-y|.
那么,关于x的方程f(x)=x在区间[a,b]上根的情况是( )
A.没有实数根
B.有且仅有一个实数根
C.恰有两个实数根
D.有无数个不同的实数根
由题意设g(x)=f(x)-x,已知区间[a,b]判断两个端点与0的关系,根据根的存在定理进行求解. 【解析】 设g(x)=f(x)-x. g(a)=f(a)-a≥0, g(b)=f(b)-b≤0, 所以g(x)=0在[a,b]有实数根, 若有两个不同的实数根x,y, 则f(x)=x,f(y)=y,得f(x)-f(y)=x-y, 这与已知条件|f(x)-f(y)|<|x-y|相矛盾. 故选B.
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