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已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的体积最大(柱体体积...

已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的体积最大(柱体体积=底面积×高)时,其高的值为( )
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根据正六棱柱和球的对称性,球心O必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点,作出过正六棱柱的对角面的轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系,在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量. 【解析】 以正六棱柱的最大对角面作截面,如图.设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为O1,O2,则O是O1,O2的中点.设正六棱柱的底面边长为a,高为2h,则a2+h2=9.正六棱柱的体积为,即,则,得极值点,不难知道这个极值点是极大值点,也是最大值点.故当正六棱柱的体积最大,其高为. 故选B
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