Question

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）将y表示成x的函数；
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

Answer

（1）先利用AC⊥BC，求出BC2=400-x2，再利用圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，得到y和x之间的函数关系，最后利用垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065求出k即可求出结果．
（11）先求出导函数以及导数为0的根，进而求出其单调区间，找到函数的最小值即可．
解（1）由题意知AC⊥BC，BC2=400-x2，
其中当时，y=0.065，
所以k=9
所以y表示成x的函数为
（2），，
令y'=0得18x4=8（400-x2）2，
所以x2=160，即，
当时，18x4＜8（400-x2）2，即y'＜0所以函数为单调减函数，
当时，18x4＞8（400-x2）2，即y'＞0所以函数为单调增函数．
所以当时，即当C点到城A的距离为时，函数有最小值．
（注：该题可用基本不等式求最小值．）