Question

有一个项数为10的实数等比数列{a_n}，S_n（n≤0）表示该数列的前n项和．
（1）当2＜k≤10时，若S_k，S₁₀，S₇成等差数列，求证a_k-1，a₉，a₆也成等差数列；
（2）研究当k∈{3，4}时，S_k，s₁₀，S₇能否成等差数列，如果能，请求出公比；如果不能，并请说明理由．

Answer

（1）直接由Sk，S10，S7成等差数列，分q=1和q≠1两种情况分别求出其对应结论，整理即可证ak-1，a9，a6也成等差数列；
（2）先把k=3代入Sk，s10，S7成等差数列，求出关于q的方程，看能否求出方程的根即可；同理k=4的求解过程一样．
【解析】
（1）当q=1时，由2s10=sk+s7⇒20a1=ka1+7a1⇒k=13（舍）．所以Sk，S10，S7不成等差数列．
当q≠1时，，，，由2s10=sk+s7得
2q10=qk+q7⇒2q8=qk-2+q5⇒2a1q8=a1qk-2+a1q5⇒2a9=ak-1+a6，
即ak-1，a9，a6也成等差数列
（2）当k=3时，如果Sk，s10，S7成等差数列，则由2s10=s3+s7得，
当q=1时，2s10=s3+s7显然不成立．
当q≠1时，2s10=s3+s7⇒2q10=q3+q7，得到关于q的方程：2q7=1+q4
下面证明上述方程无【解析】
①当q＞1时，2q7=q7+q7＞1+q7＞1+q4，方程：2q7=1+q4无解；
②当0＜q＜1时，1+q4＞2q2＞2q7，方程：2q7=1+q4无解；
③当q＜0时，1+q4＞0＞2q7，方程：2q7=1+q4无解；
综上所述：方程：2q7=1+q4无解．
即k=3，假设Sk，s10，S7成等差数列是错误的，Sk，s10，S7不成等差数列．
当k=4时，如果s4，s10，，s7成等差数列，则由2s10=s4+s7得，
当q=1时，2s10=s4+s7显然不成立；
当q≠1时，由2s10=s4+s7⇒2q10=q4+q7，得到关于q的方程2q6=1+q3，
分解因式得：（2q3+1）（q3-1）=0⇒q=-或q=1（舍）．
综上所述：当k=4时，当q=1，s4，s10，，s7不成等差数列；
当q=-时，s4，s10，s7成等差数列．