Question

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R）是奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若f（1）=，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∝）上的最小值为-2，求实数m的值．

Answer

（1）根据f（x）是奇函数，得出f（0）=0，进而求出k的值．
（2）先通过f（1）=求出a的值．令t=f（x）=2x-2-x，转换成关于t的二次函数．对称轴为t=m．又因为t=f（x）=2x-2-x≤，就要看g（x）取最小值时t能否取到m．
【解析】
（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（0）=0
∴k-1=0，
∴k=1
（2）∵f（1）=，
∴a-=，
即2a2-3a-2=0
∴a=2或a=-（舍去）
∴g（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x）=（2x-2-x）2-2m（2x-2-x）+2
令t=f（x）=2x-2-x
∵x≥1
∴t≥f（1）=
∴g（x）=t2-2mt+2=（t-m）2+2-m2
当m≥时，当t=m时，g（x）min=2-m2=-2
∴m=2
当m＜时，当t=时，g（x）min=-3m=-2
m=＞，舍去
∴m=2