Question

已知m∈R，函数f（x）=x²-m^x，g（x）=lnx．
（1）当x∈[1，2]时，如果函数f（x）的最大值为f（1），求m的取值范围；
（2）若对有意义的任意x，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范围；
（3）当m在什么范围内取值时，方程f（x）=g（x）分别无实根？只有一实根？有两个不同实根？

Answer

（1）本问题求出函数的最值代入已知最大值为f（1），即可解得参数m的值，
（2）本题恒成立问题转化为函数的最值来解答，具体方法是由f（x）＞g（x）等价于x2-mx＞lnx，即，构造出函数，利用导数工具可以求解．
（3）我们对本题可以这样处理，想根据函数y=x2，y=mx，y=lnx的图象的增减性，判断猜测出参数m取值时分别对应方程的根的情况，然后来证明这个结论．证明时可利用新构造的函数h（x）=f（x）-g（x），利用导数以及函数的单调性，求出函数的最值来判断根x的性质以辨别是否存在这个根．
【解析】
（1）函数f（x）=x2-mx的图象开口向上，函数在x=1或x=2处取得最大值，则f（1）≥f（2），1-m≥4-2m，得：m≥3．
（2）f（x）＞g（x）等价于x2-mx＞lnx，其中x＞0，即：由，令，得，
当x=1时t′（x）=0，当x∈（0，1）时t′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时t′（x）＞0，m＜t（x）min=t（1）=1，∴m＜1．
（3）设h（x）=f（x）-g（x）=x2-mx-lnx，其中x＞0．观察得当m=1时，方程f（x）=g（x）即为：x2-x-lnx=0的一个根为x=1．猜测当m＜1，m=1，m＞1时方程分别无根，只有一个根，有且只有两个根．
证明：∵h′（x）==0，等价于2x2-mx-1=0此方程有且只有一个正根为，
且当x∈（0，x）时，h′（x）＜0；当x∈（x，+∞）时，h′（x）＞0，函数只有一个极值h（x）min=h（x）=x2-mx-lnx．
1°当m＜1时，由（2）得f（x）＞g（x）恒成立，方程无解．
2°当m=1时，x=1，h（x）min=h（1）=0，则h（x）≥h（x）min=0，当且仅当x=1时，h（x）=0，此时只有一个根x=1．
3°当m＞1时，，关于m在（1，+∞）上递增，∴x∈（1，+∞）时lnx＞0，∵m＞1⇒1＜m2⇒8＜8m2⇒m2+8＜9m2⇒
⇒⇒⇒x＜m．∴h（x）min=h（x）=x2-mx-lnx=x（x-m）-lnx＜0．证毕