Question

28、已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=1，a₂=a（a为实数），且b_n=a_n．a_n+1，其中n=1，2，3，…
（1）求证：“若数列{a_n}是等比数列，则数列{b_n}也是等比数列”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题；判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

Answer

（1）根据数列{an}是等比数列，写出数列的通项，由bn=an．an+1，表示出数列{bn}的后一项与前一项之比，约分之后，得到比值是一个定值，结论得证．
（2）把（1）中命题的逆命题写出来，用类似于（1）的方法检验是否正确，结果发现奇数项是以1为首项，q为公比的等比数列，偶数项是以a为首项，q为公比的等比数列，所以逆命题不正确．
【解析】
（I）因an是等比数列，
a1=1，a2=a
∴an=an-1
∵bn=an．an+1，
∴
=
∴bn是以a为首项，a2为公比的等比数列．
（II）（I）中命题的逆命题是：若bn是等比数列，则an也是等比数列，是假命题．
设bn的公比为q则
=
又a1=1，a2=a
∴a1，a3，…a2n-1是以1为首项，q为公比的等比数列，
a2，a4…a2n…是以a为首项，q为公比的等比数列，
即an为1，a，q，aq，q2，aq2，
但当q≠a2时，an不是等比数列，故逆命题是假命题．