Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，，，BC=2．将ABCD（及其内部）绕AB所在的直线旋转一周，形成一个几何体．
（1）求该几何体的体积V；
（2）设直角梯形ABCD绕底边AB所在的直线旋转角θ（∠CBC′=θ∈（0，π））至ABC′D′，若AD′⊥AD，求角θ的值．

Answer

（1）由圆锥及圆柱的几何特征可得，该几何体由两个底面相待的圆锥和圆柱组合而成，其中圆柱和圆锥的高均为，代入圆柱和圆锥的体积公式，即可得到答案．
（2）若AD′⊥AD，则D′D=AD，由余弦定理，结合BC=2，我们易求出角θ的值．
【解析】
（1）如图，作DE⊥AB，则由已知，得，．（2分）
所以，（4分）
（2）连接DD′，CC′，有，DD'2=CC'2=8-8cosθ，．（3分）
由题意，得DD'2=AD'2+AD2，（2分）
即8-8cosθ=12（2分），．（2分）