Question

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），数列{c_n}满足，数列{c_n}的前n项和为T_n，当n为偶数时，求T_n；
（3）若数列，甲同学利用第（2）问中的T_n，试图确定T_n-P_n的值是否可以等于20？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由．

Answer

（1）由题设知a1=2，2an=an2-an-12+an-an-1，由an＞0，知an-an-1=1由此能求出an．
（2）由题设知bn=2n（n∈N*）．n为偶数时，Tn=（a1+a3+…+an-1）+（b2+b4+…+bn）==．
（3）由程序可知，n为偶数，Tn=，，设dn=A-B=Tn-Pn=，n=8时，Tn-Pn=20成立，程序停止．乙同学的观点错误．
【解析】
（1）n=1，2（S1+1）=a12+a1⇒a1=2．（2分）
，
两式相减，得2an=an2-an-12+an-an-1
∵an＞0，∴an-an-1=1．（4分）
⇒{an}为等差数列，首项为2，公差为1
∴an=n+1（n∈N*）．（5分）
（2）∵{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴bn=2n（n∈N*）．（7分）
n为偶数时，Tn=（a1+a3+…+an-1）+（b2+b4+…+bn）．（8分）
==．（10分）
（3）由程序可知，n为偶数，
∴Tn=，
设dn=A-B=Tn-Pn=．（13分）
∵n=8时，，且n为偶数
∴n=8时，Tn-Pn=20成立，程序停止．（14分）
∴乙同学的观点错误．（16分）