Question

圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知椭圆C：．
（1）过椭圆C的右焦点作一条垂直于x轴的垂轴弦MN，求MN的长度；
（2）若点P是椭圆C上不与顶点重合的任意一点，MN是椭圆C的短轴，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0）（如图），求x_E⋅x_F的值；
（3）在（2）的基础上，把上述椭圆C一般化为，MN是任意一条垂直于x轴的垂轴弦，其它条件不变，试探究x_E⋅x_F是否为定值？（不需要证明）；请你给出双曲线中相类似的结论，并证明你的结论．

Answer

（1） 把右焦点的横坐标 x=代入椭圆C的方程，求得y=±，故得 MN=1．
（2）设 P（x，y），求出的lMP 方程，令 y=0，则 得xE，同理求得 xF，再根据M，P 在椭圆C上，计算出xE•xF的值．
（3）先判断xE•xF 为定值，再进行证明，先求出xE 和xF的值，再利用M，P 在双曲线上，得到坐标间的关系，代入xE•xF 的表达式进行运算．
【解析】
（1）由条件可知右焦点的坐标为（，0），x=代入椭圆C的方程，
得y=±，所以，MN=1．
（2）设 P（x，y），M（0，1），N （0，-1），则 lMP：y-1= x，
令 y=0，则  xE=，同理可得：xF=，∴xE•xF=．
∵M，P 在椭圆C： 上，∴，
则 xE•xF===4．
（3）点P是椭圆C：上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，
直线 MP、MN分别交x轴于点E （xE，0）和点F（xF，0），则 xE•xF=a2．
点P是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP，
MN分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），则 xE•xF=a2．
证明如下：设M（m，n），N（m，-n），P（x，y），则 lMP：y-n=，
令 y=0，则  xE=，同理可得：xF=，xE•xF=．
∵M，P 在双曲线C： 上，∴n2=b2 （-1），y2=b2（），
则  xE•xF===a2．