Question

如图，四棱锥P-ABCD的底边ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）若BE⊥平面PCD，求平面EBD与平面CBD夹角的余弦值．

Answer

（I）以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，根据向量的共线关系得到线与线之间的平行关系，得到线与面平行的结论．
（II）根据面面垂直得到线线垂直，得到两个向量的数量积等于0，求出两个字母之间的关系，设出平面的法向量，根据数量积等于0，做出法向量，进而求出面面角．
【解析】
设AB=a，PA=b，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，b），C（2a，2a，0），D（0，2a，0），E（a，a，）．
（Ⅰ）证明：，
∴．
又∵BE⊄平面PAD
∴BE∥平面PAD．
（Ⅱ）∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即．
又∵，
∴．即b=2a
在平面BDE和平面BDC中，，
∴平面BDE的一个法向量为，
平面BDC的一个法向量为，
∴．
∴平面EBD与平面CBD夹角的余弦值为．