Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，E为棱CC₁上的动点．
（1）求证：A₁E⊥BD；
（2）当E恰为棱CC₁的中点时，求证：平面A₁BD⊥平面EBD；
（3）在（2）的条件下，求．

Answer

（1）连AC，A1C1，根据正方体的几何特征，可得AA1⊥BD，AC⊥BD，由线面垂直的判定定理，可得BD⊥平面ACC1A1，再根据线面垂直的性质，即可得到BD⊥A1E．
（2）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连A1O，EO，结合（1）的结论，可得∠A1EO即为二面角A1-BD-E的平面角，解三角形A1EO，可以求出为二面角A1-BD-E为直二面角，即平面A1BD⊥平面EBD；
（3）由（2）得A1O⊥平面BDE，求出棱锥的底面面积和棱锥高，代入锥棱的体积公式，即可求出答案．
证明：（1）连AC，A1C1．∵正方体AC1中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD．
∵正方形ABCD，AC⊥BD且AC∩AA1=A．∴BD⊥平面ACC1A1 且E∈CC1．∴A1E⊂平面ACC1A1．∴BD⊥A1E．
（2）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连A1O，EO．
由（1）得BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥A1O，BD⊥EO．
∴∠A1OE即为二面角A1-BD-E的平面角．
∵AB=a，E为CC1中点，∴A1O=，EO=，A1E=．
∴A1O2+OE2=A1E2．∴A1O⊥OE．∴∠A1OE=90°．
∴平面A1BD⊥平面BDE．
（3）由（2）得A1O⊥平面BDE 且A1O=，
又，
∴V=﹒