Question

如图所示，已知圆E：x²+（y-1）²=4交x轴分别于A，B两点，交y轴的负半轴于点M，过点M作圆E的弦MN．
（1）若弦MN所在直线的斜率为2，求弦MN的长；
（2）若弦MN的中点恰好落在x轴上，求弦MN所在直线的方程；
（3）设弦MN上一点P（不含端点）满足PA，PO，PB成等比数列（其中O为坐标原点），试探求的取值范围．

Answer

（1）根据KMN=2，且过点M（0，-1），，代入即可得：弦MN所在直线的方程为y+1=2x
（2）弦MN的中点恰好落在x轴上时有yM+yN=0，可得yN=1，代入圆E的方程中得N（±2，1），进而可求直线MN的方程为x-y-1=0或x+y+1=0．
（3）设P（x，y），由PA•PB=PO2，得，化简得．
又由于点P在圆E内，所以x2+（y-1）2＜4，
联立可得答案．
【解析】
（1）在圆E的方程中令x=0，得M（0，-1），又KMN=2，
所以弦MN所在直线的方程为y+1=2x，即2x-y-1=0．
∵圆心到直线MN的距离为，且r=2，∴．
（2）因为yM+yN=0，所以yN=1，代入圆E的方程中得N（±2，1）．
由M（0，-1），N（±2，1）得直线MN的方程为x-y-1=0或x+y+1=0．
（3）易得，设P（x，y），
则由PA•PB=PO2，得，
化简得①
由题意知点P在圆E内，所以x2+（y-1）2＜4，结合①，
得4y2-4y-3＜0，解得．从而=．