由于函数g(x)满足:①当x>0时,g'(x)>0恒成立(g'(x)为函数g(x)的导函数);②对任意x∈R都有g(x)=g(-x),这说明函数g(x)为R上的偶函数且在[0,+∞)上为单调递增函数,且有g|(x|)=g(x),所以g[f(x)]≤g(a2-a+2)⇔|f(x)|≤|a2-a+2|对恒成立,只要使得|f(x)|在定义域内的最大值小于等于|a2-a+2|的最小值,然后解出即可.
【解析】
因为函数g(x)满足:当x>0时,g'(x)>0恒成立且对任意x∈R都有g(x)=g(-x),则函数g(x)为R上的偶函数且在[0,+∞)上为单调递增函数,且有g|(x|)=g(x),
所以g[f(x)]≤g(a2-a+2)在R上恒成立⇔|f(x)|≤|a2-a+2|对恒成立,只要使得定义域内|f(x)|max≤|a2-a+2|min,由于当时,f(x)=x3-3x,
求导得:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),该函数过点(,(0,0),(,
且函数在x=-1处取得极大值f(-1)=2,在x=1处取得极小值f(1)=-2,又由于对任意的x∈R都有⇔成立,则函数f(x)为周期函数且周期为T=,所以函数f(x)在的最大值为2,所以令2≤|a2-a+2|解得:a≥1或a≤0.
故选A