Question

设数列{a_n} 的首项为a₁=1，前n项和为S_n，且na_n-S_n=2n（n-1），n∈N*．
（1）求a₂的值及数列{a_n} 的通项公式a_n；
（2）若数列 {b_n} 满足：4b_n=S_n+n-1+（-1）ⁿ，当n≥2，记．
①计算E₉的值；
②求的值．

Answer

（1）由题意数列{an} 的首项为a1=1，前n项和为Sn，且nan-Sn=2n（n-1），利用数列的前n项和求出通项即可；
（2）①有数列 {bn} 满足：4bn=Sn+n-1+（-1）n，先推导出通项公式，②并对该式子分奇偶进行讨论求出2n-，并有导出的通项公式代入，再利用数列的极限求得．
【解析】
（1）因为有已知：nan-Sn=2n（n-1），a2=5，
     当n≥2时，（n-1）an-1-Sn-1=2（n-1）（n-2），
∴nan-（n-1）an-1-Sn+Sn-1=2n（n-1）-2（n-1）（n-2），
    即（n-1）（an-an-1）=4（n-1）（n≥2），∴an-an-1=4（n≥2），
    故数列{an}是公差为4的等差数列，
∴an=4n-3（n∈N+）；
（2）由于数列 {bn} 满足：4bn=Sn+n-1+（-1）n，
∴4bn=2n2-1+（-1）n（n∈N+），∴，
故，
当n为大于0的偶数时，，
当n为大于1的奇数时，
，
∴E9=（b1+b3+b5+b7+b9）+（b2+b4+b6+b8）=
当n＞1，且n∈N+时，若n为偶数，则，
                       若n为大于1的奇数，则，
∴  
∴．