Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）若点E是线段PB的中点，求证：AE∥平面PCD．

Answer

（1）由已知中四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，我们易得PA⊥AB，AB⊥AD，由线面垂直的判定定理易得AB⊥平面PAD，根据线面垂直的定义，即可得到AB⊥PD；
（2）若点E是线段PB的中点，取PC的中点F，连接AE，EF，DF，由三角形中位线定理，我们判断四边形EFDA是平行四边形，结合空间中直线与平面平行的判定定理，即可得到AE∥平面PCD．
【解析】

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB．
∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD．（6分）
（2）因为点E为线段PB的中点，
取PC的中点F，连接AE，EF，DF，
则EF是△PBC中位线．
∴EF∥BC，，
∵AD∥BC，，
∴AD∥EF，AD=EF．
∴四边形EFDA是平行四边形，
∴AE∥DF．
∵AE⊄平面PCD，DF⊂平面PCD，
∴AE∥平面PCD．（12分）