Question

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N⁺，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求证：a_n²=2S_n-a_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ为非零整数，n∈N^*）试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer

（Ⅰ）令n=1代入a13+a23+a33+…+an3=Sn2，可得a1的值，然后推出Sn-12的表达式，与Sn2相减可得an2=2Sn-an，从而求证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an2=2Sn-an利用递推公式，得an-12的表达式，从而可得数列an是首项为1，公差为1的等差数列．
（Ⅲ）第一步要求出bn+1-bn的表达式，然后再进行分类讨论，n为奇偶的情况确定λ的范围；
【解析】
（Ⅰ）由已知得，当n=1时，a13=S12=a12，
又∵an＞0，∴a1=1
当n≥2时，a13+a23++an3=Sn2①
a13+a23++an-13=Sn-12②
由①-②得，an3=Sn2-Sn-12=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=an（Sn+Sn-1）
∴an2=Sn+Sn-1=2Sn-an（n≥2）
显然当n=1时，a1=1适合上式．
故an2=2Sn-an（n∈N*）
（Ⅱ）由（I）得，an2=2Sn-an③
an-12=2Sn-1-an-1（n≥2）④
由③-④得，an2-an-12=2Sn-2Sn-1-an+an-1=an+an-1
∵an+an-1＞0∴an-an-1=1（n≥2）
故数列an是首项为1，公差为1的等差数列．
∴an=n（n∈N*）
（III）∵an=n（n∈N*），∴bn=3n+（-1）n-1λ•2n
∴bn+1-bn=3n+1-3n+（-1）nλ•2n+1-（-1）n-1λ•2n=2×3n-3λ•（-1）n-1•2n
要使bn-1＞bn恒成立，只须（-1）n-1 λ＜n-1
（1）当n为奇数时，即λ＜恒成立，
又的最小值为1，∴λ＜1
（2）当为偶数时，即λ＞恒成立，
又-的最大值为-，
∴λ＞-，∴由（1）（2）得-＜λ＜1，
又λ=0且为整数，∴λ=-1对所有n∈N+，都有bn+1＞bn成立．