Question

若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
（1）若x²-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a²b+ab²比a³+b³接近；
（3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．

Answer

（1）根据新定义得到不等式|x2-1|＜3，然后求出x的范围即可．
（2）对任意两个不相等的正数a、b，依据新定义写出不等式，利用作差法证明：a2b+ab2比a3+b3接近；
（3）依据新定义写出函数f（x）的解析式，
直接写出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性，即可．
【解析】
（1）|x2-1|＜3，0≤x2＜4，-2＜x＜2
x∈（-2，2）；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，
有，，
因为，
所以，
即a2b+ab2比a3+b3接近；
（3），
k∈Z，f（x）是偶函数，f（x）是周期函数，
最小正周期T=p，函数f（x）的最小值为0，
函数f（x）在区间单调递增，
在区间单调递减，k∈Z．