Question

如图为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁切去一个三棱锥B₁-A₁BC₁后得到的几何体．
（1）若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D₁O∥平面A₁BC₁；
（2）求证：平面A₁BC₁⊥平面BD₁D．

Answer

由于题目中的几何体是由正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1-A1BC1后得到的几何体，所以我们可以将他增补成正方体，然后进行再进行证明：（1）要证明直线D1O∥平面A1BC1关键是要在平面内找到一条可能与直线D1O平行的直线，但平面A1BC1中已知的三条直线均与D1O不平行，故我们要作辅助线，协助证明；（2）要证明：平面A1BC1⊥平面BD1D．关键是要在一个面内找出一条直线证明它与另一个平面垂直，由图分析A1C1可能垂直平面BD1D，故可以以此为切入点进行证明．
【解析】
（1）将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，
依题意可知，D1O1∥OB，且D1O1=OB，即四边形D1OBO1为平行四边形，
则D1O∥O1B，因为BO1⊂平面BA1C1，D1O⊄平面BA1C1，
所以有直线D1O∥平面BA1C1．

（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，
则DD1⊥A1C1，
在正方形A1B1C1D1中，B1D1⊥A1C1，
又∵DD1∩B1D1=D1，∴A1C1⊥平面BD1D，
∵A1C1⊂平面A1BC1，则平面A1BC1⊥平面BD1D．