Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=2ⁿ（n∈N^*），b_n=3a_n．
（1）试证数列是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式．
（2）在数列{b_n}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由．
（3）①试证在数列{b_n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r，s，使得b₁，b_r，b_s成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系．
②在数列{b_n}中，是否存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差数列？若存在，确定正整数r，s，t之间的关系；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据由an+an+1=2n，代入化简整理可知结果为常数，故可根据等比数列的定义判断数列是等比数列，公比为-1，首项为，进而可得等比数列的通项公式．
（2）先假设在数列{bn}中，存在连续三项bk-1，bk，bk+1（k∈N*，k≥2）成等差数列，再根据等差中项的性质可得bk-1+bk+1=2bk，再通过（1）求得的an，求得bn代入整理得2k-1=4（-1）k-1，分k为奇数和偶数两种情况分别讨论，进而求得k．
（3）①要使b1，br，bs成等差数列，只需b1+bs=2br，代入bn的通项公式整理得2s-2r+1=（-1）s-2（-1）r-3，分情况讨论，若s=r+1，当s为不小于4的正偶数，且s=r+1时符合条件；若s≥r+2时根据r的范围推断等式不成立．综合可得答案．
②假设存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b1，br，bs，bt成等差数列．首先找到成等差数列的3项，根据bt=b2n+d和bt=2t-（-1）t，进而整理得2t-3×22n-1=（-1）t-3．由于左端大于等于8；右边小于等于-2，进而推断等式不可能成立，最后综和即可得出结论．
【解析】
（1）证明：由an+an+1=2n，得an+1=2n-an，
∴=，
∴数列是首项为，公比为-1的等比数列．
∴，即，
∴bn=2n-（-1）n
（2）【解析】
假设在数列{bn}中，存在连续三项bk-1，bk，bk+1（k∈N*，k≥2）成等差数列，
则bk-1+bk+1=2bk，即[2k-1-（-1）k-1]+[2k+1-（-1）k+1]=2[2k-（-1）k]，
即2k-1=4（-1）k-1
①若k为偶数，则2k-1＞0，4（-1）k-1=-4＜0，所以，不存在偶数k，使得bk-1，bk，bk+1成等差数列．
②若k为奇数，则k≥3，∴2k-1≥4，而4（-1）k-1=4，所以，当且仅当k=3时，bk-1，bk，bk+1成等差数列．
综上所述，在数列{bn}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列．
（3）①证明：要使b1，br，bs成等差数列，只需b1+bs=2br，即3+2s-（-1）s=2[2r-（-1）r]，
即2s-2r+1=（-1）s-2（-1）r-3，①
（ⅰ）若s=r+1，在①式中，左端2s-2r+1=0，右端（-1）s-2（-1）r-3=（-1）s+2（-1）s-3=3（-1）s-3，
要使①式成立，当且仅当s为偶数时成立．又s＞r＞1，且s，r为正整数，
所以，当s为不小于4的正偶数，且s=r+1时，b1，br，bs成等差数列．
（ⅱ）若s≥r+2时，在①式中，左端2s-2r+1≥2r+2-2r+1=2r+1，
由（2）可知，r≥3，∴r+1≥4，
∴2s-2r+1≥16；右端（-1）s-2（-1）r-3≤0（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“=”），
∴当s≥r+2时，b1，br，bs不成等差数列．
综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s=r+1，使得b1，br，bs成等差数列．
②假设存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b1，br，bs，bt成等差数列．
首先找到成等差数列的3项：由第（3）小题第①问，可知，b1，b2n-1，b2n（n∈N*，且n≥2）成等差数列，
其公差d=b2n-b2n-1=[22n-（-1）2n]-[22n-1-（-1）2n-1]=22n-1-2，
∴bt=b2n+d=22n-（-1）2n+22n-1-2=3×22n-1-3．
又bt=2t-（-1）t，
∴3×22n-1-3=2t-（-1）t，
即2t-3×22n-1=（-1）t-3．②
∵t＞2n＞2n-1，∴t≥2n+1，
∴②式的左端2t-3×22n-1≥22n+1-3×22n-1=22n-1≥8，
而②式的右端（-1）t-3≤-2，
∴②式不成立．
综上所述，不存在满足条件1＜r＜s＜t的正整数r，s，t，使得b1，br，bs，bt成等差数列．