Question

已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由已知中点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，我们易证明出三棱锥S-ABC的三条侧棱也相等，则三棱锥S-ABC的三条侧棱互相垂直时，体积取最大值，代入体积公式，即可求出答案．
【解析】
点A在侧面SBC上的射影H是三角形SBC的垂心，AD为BC边上的高
∴SA⊥BC，SC⊥AB．
设O为S在底面的射影，
则BC⊥面SAD，则O一定在AD上，
AB⊥SC，AB⊥SO，所以CO⊥AB，
所以O是底面ABC的垂心．也是外心，
∴SA=SB=SC=a．
则当SA，SB，SC互相垂直时体积最大
此时V==
故选D